Question

5．已知一工厂生产某种产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元．设该工厂一年内生产这种产品x千件并全部销售完，每千件的销售收入为p（x）万元，且$p（x）=\left\{\begin{array}{l}108-\frac{1}{3}{x^2}，0＜x≤10\\ \frac{1080}{x}-\frac{10000}{{3{x^2}}}，x＞10\end{array}\right.$
（Ⅰ）写出年利润f（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数关系式；
（Ⅱ）年产量为多少千件时，该工厂在这种产品的生产中所获得的年利润最大？
（注：年利润=年销售收入-年总成本）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由年利润=年销售收入-年总成本，结合p（x），即可得到所求f（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论0＜x≤10时，由导数判断单调性，可得最大值；再讨论x＞10时，运用基本不等式求得最大值，进而得到所求f（x）的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由$p（x）=\left\{\begin{array}{l}108-\frac{1}{3}{x^2}，0＜x≤10\\ \frac{1080}{x}-\frac{10000}{{3{x^2}}}，x＞10\end{array}\right.$，
则f（x）=x[p（x）-27]-100=$\left\{\begin{array}{l}81x-\frac{1}{3}{x^3}-100，0＜x≤10\\ 980-27x-\frac{10000}{3x}，x＞10\end{array}\right.$；
（Ⅱ）当0＜x≤10时，f'（x）=81-x²，
令f′（x）=0得x=9∈（0，10]（x=-9舍去），
且当x∈（0，9）时，f′（x）＞0；当x∈（9，10）时，f′（x）＜0．
所以当x=9时，f（x）_max=f（9）=386．
当x＞10时，$f（x）=980-27x-\frac{10000}{3x}$=$980-27（x+\frac{10000}{81x}）$
$≤980-27•2\sqrt{x•\frac{10000}{81x}}$=380，
当且仅当$x=\frac{10000}{81x}$即$x=\frac{100}{9}$∈（10，+∞）时取等号．
所以当x＞10时，f（x）_max=380．
因为386＞380，所以当x=9时，f（x）_max=386．
答：年产量为9千件时，该工厂在这种产品的生产中所获得的年利润最大．

点评 本题考查函数模型和数学思想的运用，考查分段函数的解析式和最值的求法，注意运用单调性和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．