Question

给出定义：若m-＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m，在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
①y=f（x）的定义域是R，值域是（-，]；
②点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；
③函数y=f（x）的最小正周期为1；
④函数y=f（x）在（-，]上是增函数；
则其中真命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：依题意，f（x）=x-{x}，对四个命题逐一判断即可．
解答：解：∵m-＜x≤m+，m为整数，{x}=m，
∴-＜x-m≤，又{x}=m，
∴-＜x-{m}≤，
即-＜f（x）≤，
∴①y=f（x）的定义域是R，值域是（-，]正确；
对于③，f（x+1）=（x+1）-{x+1}=x-{m}=f（x），
∴函数y=f（x）的最小正周期为1，即③正确；
∴f（x）=x-{x}的图象如图：
由图可排除（2），（4）．
故关于函数f（x）=x-{x}的四个命题中（1）（3）正确．
故选C．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查分析与理解能力，作出f（x）=x-{x}的图象是关键，属于难题．