Question

设f(x)=log_ag(x)(a＞0且a≠1)。
(1)若f(x)在定义域D内是奇函数，求证：g(x)·g(-x)=1；
(2)若g(x)=ax且在[1，3]上，f(x)的最大值是，求实数a的值；
(3)若g(x)=ax²-x，是否存在实数a，使得f(x)在区间I=[2，4]上是减函数？且对任意的x₁，x₂∈I都有f(x₁)＞a^x₂-2，如果存在，说明a可以取哪些值；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵在定义域D内是奇函数，
∴f(x)+f(-x)=0，，即，
∴。
（2）①若a＞1，则在[1，3]上是增函数，则有f(3)=，
∴，
∴a=9；
②若0＜a＜1，则在[1，3]上是减函数，则有f(1)= ，
∴=，解得：a不存在；
综上所述：a=9。
（3）①若a＞1时，要满足题设，则有在[2，4]上是减函数，
∴而函数＞0仅在上是减函数，故a＞1不符合题意；
 ②若0＜a＜1时，要满足题设，则有在[2，4]上是增函数，并且在[2，4]上成立，∴，∴a＞，
要对任意的x₁，x₂∈I都有，只要求f(x)的最小值大于的最大值即可。
∵f(x)在区间I=[2，4]上是减函数，
∴==，的最大值为=1，
∴＞1，∴a＜，这与a＞矛盾，舍去；
综上所述：满足题设的实数a不存在。