Question

已知P是椭圆C：

x2

8

+

y2

4

=1上的动点，F₁，F₂分别是其左右焦点，O是坐标原点，则

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

的取值范围是

[-

2

，

2

]

．

Answer 1

分析：设P的坐标为（m，n），利用圆锥曲线的统一定义算出|PF₂|=e|PQ|=

2

2

（4-m）=2

2

-

2

2

m，同理可得|PF₁|=2

2

+

2

2

m，结合|PO|=

m2+n2

得

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

=

2 m

m2+n2

．再根据椭圆方程将其化简为关于m的函数，利用椭圆上点的横坐标的范围加以计算，可得所求

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

的取值范围．

解答：解：设P的坐标为（m，n）
∵椭圆C：

x2

8

+

y2

4

=1中，a²=8，b²=4，
∴c=

a2-b2

=2，得椭圆的准线方程为x=±

a2

c

，即x=±4
作出椭圆的右准线，设P在右准线上的射影为Q，连结PQ，
根据圆锥曲线的统一定义，得

|PF2|

|PQ|

=e，
∴|PF₂|=e|PQ|=

2

2

（4-m）=2

2

-

2

2

m，同理可得|PF₁|=2

2

+

2

2

m，
∵|PO|=

m2+n2

，
∴

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

=

(2 2 + 2 2 m)-(2 2 - 2 2 m)

m2+n2

=

2 m

m2+n2

∵点P（m，n）在椭圆

x2

8

+

y2

4

=1上，得

m2

8

+

n2

4

=1，
∴n2=4(1-

m2

8

)=4-

m2

2

，
由此可得

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

=

2 m

m2+(4- m2 2 )

，得（

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

）²=

4m2

8+m2

，
∵m²∈[0，a²]即m²∈[0，8]，得

4m2

8+m2

∈[0，2]，
∴

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

∈[-

2

，

2

]．
故答案为：[-

2

，

2

]

点评：本题给出椭圆，求椭圆上一点与两个焦点距离之差与该点到原点的距离之比的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、圆锥曲线的统一定义和两点间的距离公式等知识，属于中档题．