Question

设函数f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)f(y)

(Ⅰ)求f(0)，判断并证明函数f(x)的单调性；

(Ⅱ)数列{a_n}满足a₁＝f(0)，且

①求{a_n}通项公式．

②当a＞1时，不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)时，f(x)＞1 　　令x＝－1，y＝0则f(－1)＝f(－1)f(0)∵f(－1)＞1 　　∴f(0)＝1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分 　　若x＞0，则f(x－x)＝f(0)＝f(x)f(－x)故 　　故x∈R　　f(x)＞0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分 　　任取x1＜x2　　 　　 　　故f(x)在R上减函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分; 　　(Ⅱ)① 　　由f(x)单调性知，an+1＝an＋2 　　故{an}等差数列 　　　　9分; 　　② 　　 　　是递增数列　　　　　　　　11分 　　当n≥2时， 　　　　　　　　　　　　　　　　　12分 　　即 　　而a＞1，∴x＞1 　　故x的取值范围(1，＋∞)　　　　　　　　　　　　　　　　14分