题目内容

已知向量
a
=(cosθ ， sinθ)，
b
=(
3
 ， 1)．
（1）当
a
⊥
b
时，求tan2θ；
（2）若θ∈[0，
π
2
]，求|
a
+
b
|的范围．
分析：（1）利用向量垂直的充要条件及向量的数量积公式列出方程，通过三角函数的商数关系求出正切值，利用二倍角的正切公式求出tan2θ值．
（2）利用向量模的平方等于向量的平方再利用向量的数量积公式将|
a
+
b
|用三角函数表示；利用三角函数中的公式
asinx+bcosx= 
a2+b2
 sin(x+θ)化简三角函数，利用三角函数的有界性求出范围．
解答：解：（1）
a
⊥
b
?
a
•
b
=
3
cosθ+sinθ=0?tanθ=-
3
，
故tan2θ=
2tanθ
1-tan2θ
=
2×(-
3
)
1-(-
3
)2
=
3
；
（2）因为|
a
+
b
|=
|
a
|2+2
a
•
b
+|
b
|2
=
1+2(
3
cosθ+sinθ)+4
=
5+4sin(θ+
π
3
)
，
∵θ∈[0，
π
2
]，∴sin(θ+
π
3
)∈[
1
2
，1]
故(|
a
+
b
|)∈[
7
，3]．
点评：本题考查向量垂直的充要条件、向量模的平方等于向量的平方、三角函数的二倍角公式、三角函数的有界性．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网