Question

已知f（x）=8x²+16x-k（k∈R），g（x）=2x³+5x²+4x．
（1）求g（x）的极值；
（2）若?x₁、x₂∈[-3，3]，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导数，确定函数的单调性，从而可求g（x）的极值；
（2）?x₁、x₂∈[-3，3]，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，即[-3，3]上，f（x）_max≤g（x）_min，由此可求k的取值范围．

解答：解：（1）g（x）=2x³+5x²+4x，g^′（x）=6x²+10x+4=0，
∴x=-1或x=-

2

3

令g′（x）＞0，可得x＜-1或x＞-

2

3

；令g′（x）＜0，可得-1＜x＜-

2

3

；
∴得g（x）极大值为g（-1）=-1，g（x）极小值为g(-

2

3

)=-

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．
（2）?x₁、x₂∈[-3，3]，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，即[-3，3]上，f（x）_max≤g（x）_min，
∵g（3）=111，g（-3）=-21，∴g（x）_min=-21，f（x）_max=f（3）=120-k，
∴120-k≤-21，
∴k≥141，即k∈[141，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查最值思想的运用，正确求函数的最值是关键．