Question

已知函数f（x）是正比例函数，函数g（x）是反比例函数，且f（1）=1，g（1）=1．
（1）求f（x），g（x）；
（2）证明函数S（x）=xf（x）+g（

1

2

）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：（1）f（x）是正比例函数，函数g（x）是反比例函数，列出含参表达式代入求解即可．
（2）先求出S（x）的具体表达式，再求导证明其单调性

解答：解：（1）设f（x）=ax，∵f（x）是正比例函数且f（1）=1
∴a=1，f（x）=x
设g(x)=

b

x

∵函数g（x）是反比例函数，g（1）=1
∴b=1，g(x)=

1

x

（2）S（x）=xf（x）+g（

1

2

）=x²+2
求导，得S′（x）=2x
在（0，+∞）S′（x）=2x＞0 所以
函数S（x）=xf（x）+g（

1

2

）在（0，+∞）上是增函数．

点评：此题（1）考查正反比例函数表达式求解，基础简单，（2）考查单调性证明，可利用定义或者求导，属于基础题．