题目内容
【题目】如图，在三棱台
中，底面
是边长为
的正三角形，
，
，
是棱
的中点，点
在棱
上，且
．
（1）求证：
平面
；
（2）求直线
和平面
所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）取BC上一点G，满足CG＝3GB，连接
，FG，推导出四边形
为平行四边形，从而EF
，由此能证明EF平面
.
（2）延长
交于一点P，取AC的中点为O，连接PO，OB，则PO⊥AC，BO⊥AC，过O作OD⊥平面ABC，如图，以OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF和平面ABC所成角的正弦值.
解：（1）取
上一点
，满足
，连，
，
在
中，由
∴
，
又
，
∴
，
∴四边形为平行四边形
∴
又
平面，
平面
∴
平面.
（2）延长
，
，
交于一点
，且
为边长为
的正三角形，
取
的中点为
，连接
，
，则
，
，
且
，
，
，
，
过作
平面
，如图，以
为
轴，为
轴，
为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
∴
面的一个法向量为
，
设
与平面所成的角为
，
∴
，
∴直线和平面所成角的正弦值为.
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