题目内容
已知双曲线C的方程为
，离心率
，顶点到渐近线的距离为
。
（I）求双曲线C的方程；
(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若
，求
面积的取值范围。
(Ⅰ)
（Ⅱ）△AOB面积的取值范围是
解析:
（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点
到渐近线
∴
由
得
∴双曲线C的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为
设
由
得P点的坐标为
将P点坐标代入
化简得
设∠AOB
又
记
由
当
时，△AOB的面积取得最小值2，当
时，△AOB的面积取得最大值
∴△AOB面积的取值范围是
解答二（Ⅰ）同解答一
（Ⅱ）设直线AB的方程为
由题意知
由{
得A点的坐标为
由{
得B点的坐标为
由得P点的坐标为
将P点坐标代入
设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.
=
以下同解答一.
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