Question

已知动点C到定点的距离比到直线的距离少1，

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，

     当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

解：（1）如图，设为动圆圆心，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线， 所以轨迹方程为； ┅┅┅┅3分

（2）如图，设，由题意得

（否则）且所以直线的斜率存在，

   ┅┅┅┅4分

  设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知①

                                                                    ┅┅┅┅6分

    由，得=,得┅┅┅┅9分

整理化简可得：，将①式代入上式所以┅11分

此时，直线的方程可表示为即

所以直线恒过定点┅┅┅┅13分