题目内容
已知：z1=2cosx+isinx，z2=a+bi，a、b∈R，i为虚数单位，f（x）=cosx•Re(
•z2)
且f（0）=2，f(
)=
+
，
（1）求z2；
（2）求函数f（x）在（-π，π）上的单调递增区间；
（3）若α-β≠Kπ，K∈z，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．
| . |
| z1 |
且f（0）=2，f(
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
（1）求z2；
（2）求函数f（x）在（-π，π）上的单调递增区间；
（3）若α-β≠Kπ，K∈z，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．
（1）∵z1=2cosx+isinx，z2=a+bi，a、b∈R，∴(
•z2)=（2cosx-isinx）（a+bi）=（2acosx+bsinx）+（2bcosx-asinx）i，
故 Re(
1•z2)=2acosx+bsinx，
∴f（x）=cosx•（2acosx+bsinx）=2acos2x+bsinxcosx=a(1+cos2x)+
bsin2x，
∵
，∴
，∴z2=1+2i．
（2）由以上可得 f(x)=1+cos2x+sin2x=
sin(2x+
)+1，
由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，可得
kπ-
≤x≤kπ+
，k∈z．
再由x∈（-π，π）可得 -π＜x≤-
、或-
≤x≤
、或
≤x＜π，
∴函数f（x）在（-π，π）上的单调递增区间为：（-π，-
]、[-
，
]、[
，π）．
（3）由f（α）=f（β）可得 sin(2α+
)=sin(2β+
)，
故2α+
=2kπ+2β+
或2α+
=2kπ+π-(2β+
)，k∈Z，
可得 α-β=kπ或α+β=kπ+
，k∈Z，
∵已知 α-β≠Kπ，得到 α+β=kπ+
，k∈Z，
故有 tan(α+β)=tan(kπ+
)=1．
| . |
| z1 |
故 Re(
| . |
| z |
∴f（x）=cosx•（2acosx+bsinx）=2acos2x+bsinxcosx=a(1+cos2x)+
| 1 |
| 2 |
∵
|
|
（2）由以上可得 f(x)=1+cos2x+sin2x=
| 2 |
| π |
| 4 |
由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
kπ-
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
再由x∈（-π，π）可得 -π＜x≤-
| 7π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
∴函数f（x）在（-π，π）上的单调递增区间为：（-π，-
| 7π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
（3）由f（α）=f（β）可得 sin(2α+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
故2α+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
可得 α-β=kπ或α+β=kπ+
| π |
| 4 |
∵已知 α-β≠Kπ，得到 α+β=kπ+
| π |
| 4 |
故有 tan(α+β)=tan(kπ+
| π |
| 4 |
练习册系列答案
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cosθ），其中i是虚数单位，θ∈R．
时，求|z1•z2|；