Question

（2012•汕头二模）设函数f（x）=sin（

πx

6

-

π

4

）+2

2

cos²

πx

12

-

2

．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，当x∈[0，

11

2

]时，求函数y=g（x）的最小值与相应的自变量x的值．

Answer 1

分析：（1）函数解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；
（2）由函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，得到g（x）=f（2-x），求出g（x）解析式，根据x的范围求出这个角的范围，进而求出g（x）的最小值，以及此时x的值．

解答：解：（1）f（x）=sin

πx

6

cos

π

4

-cos

πx

6

sin

π

4

+

2

（2cos²

πx

12

-1）=

2

2

（sin

πx

6

-cos

πx

6

）+

2

cos

πx

6

=

2

2

sin

πx

6

+

2

2

cos

πx

6

=sin（

πx

6

+

π

4

），
∵ω=

π

6

，
∴T=12；
（2）由题意得：g（x）=f（2-x）=sin[

π

6

（2-x）+

π

4

]=sin（-

πx

6

+

7π

12

）=-sin（

πx

6

-

7π

12

），
∵0≤x≤

11

2

，∴-

7π

12

≤

πx

6

-

7π

12

≤

π

3

，
∴g（x）_min=-

3

2

，此时

πx

6

-

7π

12

=

π

3

，即x=

11

2

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．