Question

在平面直角坐标系中，定义到点P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一个变换为“γ变换”，已知P₁（0，1），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），P_n+1（x_n+1，y_n+1）是经过“γ变换”得到的一列点．设a_n=|P_nP_n+1|，数列{a_n}的前n项和为S_n，那么S₁₀的值为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：由题设可求p₁（0，1），P₂（1，1），由已知，可寻求a_n与a_n-1的关系，来研究数列{a_n}的性质．再结合得出的性质求和计算．
解答：由题设知p₁（0，1），P₂（1，1），a₁=|P₁P₂|=1，
且当n≥2时，
a_n²=|P_nP_n+1|²=（x_n+1-x_n）²-（y_n+1-y_n）²=[（y_n-x_n）-x_n]²+[（y_n+x_n）-y_n]²=5x_n²-4x_ny_n+y_n²
a_n-1²=|P_n-1P_n|²=（x_n-x_n-1）²-（y_n-y_n-1）²①
由得 有
代入①计算化简得a_n-1²=|P_n-1P_n|²=+=（5x_n²-4x_ny_n+y_n²）=a_n²．
∴=，（n≥2），
∴数列{a_n}是以为公比的等比数列，且首项a₁=1，
∴a_n=^n-1，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=，
∴S₁₀==
故选C
点评：本题是新定义类型，实际上考查了等比数列的判定与求和，考查推理、论证、计算能力．由已知，若依次求出数列{a_n}的前10项，再相加求和固然可行，但运算量较大，繁琐．因此探求数列{a_n}的性质并利用得出的性质成为一种需求与自然．