Question

（2012•静安区一模）我们知道，当两个矩阵P、Q的行数与列数分别相等时，将它们对应位置上的元素相减，所得到的矩阵称为矩阵P与Q的差，记作
P-Q．已知矩阵P=

cosA•sinA osA 16tanB cosA

，Q=

1 sinA 12 -sinA

，M=

- 109 169 -a2 0 17 13

，满足P-Q=M．求下列三角比的值：
（1）sinA，cosA；
（2）sin（A-B）．

Answer 1

分析：（1）根据题中给出的定义，得到P-M的矩阵，再结合矩阵相等的含义列出方程组，最后结合同角三角函数的平方关系可解出sinA和cosA的值．
（2）由（1）得tanB的值，利用同角三角函数基本关系可得sinB和cosB的两种情况，然后分别在这两种情况下利用两角差的正弦的公式，结合题中的数据可以算出sin（A-B）的值．

解答：解：（1）根据题意，得
P-Q=

cosAsinA-1 cosA-sinA 16tanB-12 cosA+sinA

，…（2分）
∵P-Q=M，M=

- 109 169 -a2 0 17 13

∴

cosAsinA-1=- 109 169 …① cosA+sinA= 17 13 …② cosA-sinA=-a2…③ 16tanB=12…④

…（5分）
由①②解得

sinA= 5 13 cosA= 12 13 .

或

sinA= 12 13 cosA= 5 13 .

…（7分）
由③得cosA≤sinA，所以

sinA= 12 13 cosA= 5 13 .

…（9分）
（2）由④得：tanB=

3

4

，（1分）
由同角三角比基本关系，得

sinB= 3 5 cosB= 4 5 .

或

sinB=- 3 5 cosB=- 4 5 .

…（3分）
当

sinB= 3 5 cosB= 4 5

时，sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=

33

65

；
当

sinB=- 3 5 cosB=- 4 5

时，sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=-

33

65

…（6分）

点评：本题以二阶矩阵的运算为载体，考查了同角三角函数的基本关系和两角和与差的正弦公式等知识，属于中档题．