Question

【题目】如图1，直角梯形中，中，，分别为边和上的点，且，.将四边形沿折起成如图2的位置，.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）。

【解析】

试题（1）取DE中点G，连接FG,AG，平面，只需证平面AFG∥平面CBD，又平面，平面，故只需证∥平面CBD，∥平面CBD即可；

（2）要求平面与平面所成锐角的余弦值，需找两平面的法向量，取中点为H，连接DH，可证， 故以中点H为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知是平面的一个法向量，由可得平面的一个法向量为，然后由空间两向量夹角公式去求平面与平面所成锐角的余弦值。

试题解析：（1）证明：取DE中点G，连接FG,AG，CG.因为 CFDG,所以FG∥CD.因为 CGAB, ,

所以AG∥BC.所以平面AFG∥平面CBD， 所以 AF∥平面CBD.

（2）解: 取中点为H，连接DH.,，

.，.

以中点H为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以的中点坐标为因为，所以易知是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为

由

令则，，

,

所以面与面所成角的余弦值为.