Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且

3

asinB=bcosA．
（I）求角A的大小；
（II）若a=1，且△ABC的面积为

3

4

，求b与c的值．

Answer 1

分析：（I）将已知的等式代入正弦定理，由B的范围得到sinB不为0，在等式两边除以sinB得到tanA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（II）利用三角形的面积公式表示出三角形的面积，令面积等于

3

4

，把sinA的值代入得到bc的值，记作①，然后由余弦定理表示出另一个关系式，化简后得到b+c的值，记作②，联立①②即可求出b与c的值．

解答：解：（I）

3

asinB=bcosA代入正弦定理得：

3

sinAsinB=sinBcosA，
又0＜B＜π，得到sinB≠0，所以

3

sinA=cosA，即tanA=

3

3

，
又0＜A＜π，所以A=

π

6

；
（II）∵△ABC的面积为

3

4

，即

1

2

bcsinA=

3

4

，
由（I）得sinA=

1

2

，代入得：bc=

3

①，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：1=b²+c²-3，即b²+c²=4，
所以（b+c）²-2bc=4，（b+c）²=4+2

3

，所以b+c=1+

3

②，
由①②解得：

b=1 c= 3

或

b= 3 c=1

．

点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．