Question

已知函数f（x）=x³+x的切线过点（1，2），则其切线方程为

4x-y-2=0，7x-4y+1=0

．

Answer 1

分析：根据切点在函数上，设切点坐标为（t，t³+t），利用导数的几何意义可以求得切线的斜率，写出切线方程，再根据切线过点（1，2），求出t的值，从而求得切线方程．

解答：解：f（x）=x³+x，
设切点坐标为（t，t³+t），
∵f′（x）=3x²+1，
根据导数的几何意义，切线的斜率k=f′（t）=3t²+1，
∴由直线方程的点斜式可得，切线方程为y-（t³+t）=（3t²+1）（x-t），
∵切线过点A（1，2），
∴2-（t³+t）=（3t²+1）（1-t），
∴2t³-3t²+1=0，即（t-1）²（2t+1）=0，
∴t=1或t=-

1

2

，
∴切点为（1，2），斜率为4，或切点为（-

1

2

，-

5

8

），斜率为

7

4

，
∴切线方程为y-2=4（x-1）或y+

5

8

=

7

4

（x+

1

2

），即4x-y-2=0或7x-4y+1=0．
故答案为：4x-y-2=0，7x-4y+1=0．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的点斜式方程的运用．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．涉及了三次方程的求解，解方程的关键在于因式分解，转化为二次方程进行求解．属于中档题．