Question

已知向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），且a，b满足|ka+b|=|a-kb|（k＞0），
（1）求a与b的数量积用k表示的解析式f（k）； 
（2）a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，请说明理由；若能，请求出相应的k值；
（3）求向量a与向量b的夹角的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，且，两边平方化简可得化简可得，
从而可求f（k）
（2）若可得是否有解，来判断和是否垂直
若可得即是否有解，来判断和是否平行
（3）设与夹角为θ，根据向量的夹角公式可得=
利用二次函数的性质可求
解答：解：（1）由题，且，
所以，
化简可得，
∴；
（2）若，则，而无解，因此和不可能垂直；
若，则即，解得，
综上，和不可能垂直；
当和平行时，；
（3）设与夹角为θ，
则=
=
因此，当且仅当即k=1时，cosθ有最小值为，此时，向量与的夹角有最大值为60°．
点评：（1）考查了平面向量的数量积的性质：
（2）考查了平面向量的垂直与平行的坐标表示：?x₁x₂+y₁y₂=0；?x₁y₂-x₂y₁=0
（3）考查了向量的夹角公式与二次函数的综合应用．