Question

已知抛物线的准线与x轴交于点M，过点M作圆的两条切线，切点为A、B，.
（1）求抛物线E的方程；
（2）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P、Q，若P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标.

Answer 1

（1）y²＝4x；（2）点N坐标为或.

试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，利用抛物线的准线，得到M点的坐标，利用圆的方程得到圆心C的坐标，在中，可求出，在中，利用相似三角形进行角的转换，得到的长，而，从而解出P的值，即得到抛物线的标准方程；第二问，设出N点的坐标,利用N、C点坐标写出圆C的方程，利用点C的坐标写出圆C的方程，两方程联立，由于P、Q是两圆的公共点，所以联立得到的方程即为直线PQ的方程，而O点在直线上，代入点O的坐标，即可得到s、t的值，即得到N点坐标.
试题解析：（1）由已知得，C(2，0)．
设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，．
于是，
所以，即，p＝2．
故抛物线E的方程为y²＝4x．          5分
 
（2）设N(s，t)．
P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点．
圆D方程为，
即x²＋y²－(s＋2)x－ty＋2s＝0．       ①
又圆C方程为x²＋y²－4x＋3＝0．       ②
②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0．       ③  9分
P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．
因为直线PQ经过点O，所以3－2s＝0，．
故点N坐标为或．       12分