Question

已知函数
（1）f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；
（2）当m=﹣1时，求函数f（x）的最大值；
（3）当m=1时，且1≧a＞b≧0，证明：．

Answer 1

解：（1）函数的定义域为（﹣，+∞）
求导函数可得f^′（x）=+m．
∵x＞﹣，
∴＞0，
∴不存在实数m，使f^′（x）=+m＜0对x＞﹣恒成立，
由f^′（x）=+m≧0对x＞﹣恒成立得，m≧
对x＞﹣恒成立
而＜0，故m≧0
经检验，当m≧0时，对x＞﹣恒成立
∴当m≧0时，f（x）为定义域上的单调递增函数。
（2）当m=-1时，由f^′（x）=﹣1=0，可得x=0
当x∈时，f^′（x）＞0；
当x∈（0，+∞）时，f^′（x）＜0
∴函数f（x）在x=0时取得最大值，最大值为f（0）=0
（3）证明：当m=1时，令
∴在[0，1]上总有g′（x）≧0，
即g（x）在[0，1]上递增
∴当1≧a＞b≧0时，g（a）＞g（b），
即．
令，
由（2）知它在[0，1]上递减，
∴h（a）＜h（b）
即，
综上所述，当m=1，且1≧a＞b≧0时，。