Question

已知：y=f（x）定义域为［-1，1］，且满足：f（-1）=f（1）=0，对任意u，v∈[-1，1］，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|， （1）判断函数p（x）=x2-1是否满足题设条件？ （2）判断函数g（x）=，是否满足题设条件？

Answer 1

解：（1）若u，v∈[-1，1]，|p（u）-p（v）|=|u2-v2|=|（u+v）（u-v）|， 取u=∈[-1，1]，v=∈[-1，1]， 则|p（u）-p（v）|=|（u+v）（u-v）|=|u-v|>|u-v|， 所以p（x）不满足题设条件。 （2）分三种情况讨论： 10.若u，v∈[-1，0]，则|g（u）-g（v）|=|（1+u）-（1+v）|=|u-v|，满足题设条件； 20.若u，v∈[0，1]，则|g（u）-g（v）|=|（1-u）-（1-v）|=|v-u|，满足题设条件； 30.若u∈[-1，0]，v∈[0，1]， 则：|g（u）-g（v）|=|（1-u）-（1+v）|=|-u-v|=|v+u|≤|v-u|=|u-v|，满足题设条件； 40.若u∈[0，1]，v∈[-1，0]，同理可证满足题设条件； 综合上述得g（x）满足条件。