Question

已知f(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)是定义在R上的函数，其图象交x轴于A、B、C三点，若点B的坐标为(2，0)且f(x)在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性.

(1)求c的值；

(2)在函数f(x)的图象上，是否存在一点M(x₀,y₀)，使得f(x)在点M的切线斜率为3b?若存在，求M的坐标；若不存在，说明理由；

(3)求|AC|的取值范围.

Answer 1

解：(1)∵f(x)在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性,

∴x=0是f(x)的一个极值点，故f′(0)=0，                                         

即2ax²+2bx+c=0有一个解x=0，则c=0.                                         

(2)∵f(x)交x轴于点B(2，0)，∴8a+4b+d=0，即d=-4(b+2a).

令f′(x)=0，得2ax²+2bx=0,x₁=0,x₂=.

∵f(x)在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，

∴∴-6≤≤-3.                                                    

假设存在点M(x₀,y₀)，使得f(x)在点M的切线斜率为3b，则f′(x₀)=3b，

即3ax₀²+2bx₀-3b=0.∵Δ=(2b)²-4×3a×(-3b)=4b²+36ab=4ab(+9).

而-6≤≤-3，∴Δ＜0.

故不存在点M(x₀,y₀)，使得f(x)在点M的切线斜率为3b.                           

(3)设A(α,0),C(β,0)，依题意可令

f(x)=α(x-α)(x-2)(x-β)=a［x³-(2+α+β)x²+(2α+2β+αβ)x-2αβ］,

则即

∴|AC|=|α-β|=.

∵d=-4(b+2a),-6≤≤-3，

∴当=-6时，|AC|_max=43；当=-3时，|AC|_min=3.

故3≤|AC|≤.