Question

已知圆O的方程为，圆M的方程为，过圆M上任意一点P作圆O的切线PA，若直线PA与圆M的另一个交点为Q，则当PQ的长度最大时，直线PA的斜率是___________.

Answer 1

1或-7

试题分析：根据题意可以分析圆O的圆心到PA的距离为，那么可知要使得在直角三角形QPA中，PQ最大，则只要OQ最大即可，那么即圆O的圆心到圆M上点的距离的最大值问题来处理，由于点|OM|为定值，且为，那么可知连接OM，则PA的长度结合勾股定理可知。那么设直线PA的斜率为k，那么PQ的中点与点M的连线的斜率为 ，那么联立方程组可知其斜率为1或-7。
点评：要分析圆内弦的最值问题，可以结合圆的半径和弦心距，以及半弦长的关系来分析，这是解决该试题的关键，同时要利用两圆的位置关系，要使得PQ最大，只要点M到PA的距离最小即可。转化为点到直线的距离的最小值来进行，进而求得斜率值，属于中档题。