Question

已知F₁，F₂是双曲线的两个焦点，PQ是经过F₁且垂直于实轴的弦，若△PQF₂是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为

1+

2

．

Answer 1

分析：设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0，把x=-c代入双曲线的方程，得y=±

b2

a

，由题设知2c=

b2

a

，由此能求出双曲线的离心率．

解答：解：设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0，
∵F₁，F₂是双曲线的两个焦点，PQ是经过F₁且垂直于实轴的弦，△PQF₂是等腰直角三角形，
把x=-c代入双曲线的方程，得y=±

b2

a

，
∴2c=

b2

a

，即2ac=b²，
∴2ac=c²-a²，解得

c

a

=1+

2

，

c

a

=1-

2

（舍去），
∴双曲线的离心率为1+

2

．
故答案为：1+

2

．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，合理取舍，注意合理地运用等价转化思想．