Question

已知函数在x=±1处取得极值

（1）求函数的解析式；

（2）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有≤4；

（3）若过点A（1，m）（m ≠－2）可作曲线的三条切线，求实数m的范围。

Answer 1

解：（1）=3ax²+2bx－3，依题意，f′（1）=f′（－1）=0，

       即             …………………   2分

       解得a=1，b=0．∴f（x）=x³－3x．          ………………………    4分

   （2）∵f（x）=x³－3x,∴f ′（x）=3x²－3=3（x+1）（x－1），

当－1<x<1时，f ′ （x）<0，故f（x）在区间[－1，1]上为减函数，

f_max（x）=f（－1）=2，f_min（x）=f（1）=－2    ……………………   6分

∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，

都有|f（x₁）－f（x₂）|≤|f_max（x） －f_min（x）|

|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|=2-（－2）=4     ………………  8分

（3）f′（x）=3x²－3=3（x+1）（x－1），

∵曲线方程为y=x³－3x，∴点A（1，m）不在曲线上．

设切点为M（x₀，y₀），则点M的坐标满足

因，故切线的斜率为，

整理得．

∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，

∴关于x₀方程=0有三个实根．  ………………  10分

设g（x­₀）= ，则g′（x₀）=6，

由g′（x₀）=0，得x₀=0或x₀­=1．

∴g（x₀）在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．

∴函数g（x₀）= 的极值点为x₀=0，x₀=1 

∴关于x₀方程=0有三个实根的充要条件是

，解得－3<m<－2．

故所求的实数a的取值范围是－3<m<－2．  ……………  12分