Question

在一个棱长为4的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1的小球，若小球在盒内任意地运动，则小球达不到的空间的体积为

32-

22π

3

．

Answer 1

分析：小球在盒子不能到达的空间分以下几种情况：在正方体顶点处的小正方体中，其体积等于小正方体体积减球的体积的

1

8

，在棱长处对应的正方体中，其体积等于这些小正方体体积的和减以球的直径为底面直径，以正方体和的高为高的圆柱的

1

4

，其他空间小球均能到达，综合可得到结果．

解答：解：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，
小球不能到达的空间为：8[1³-

1

8

（

4π

3

×1³）]=8-

4

3

π，
除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个1×1×2的正四棱柱空间内，
小球不能到达的空间共为12×[1×1×2-

1

4

（π×1²）×2]=24-6π．
其他空间小球均能到达．
故小球不能到达的空间体积为：（8-

4

3

π）+24-6π=32-

22

3

π．
故答案为：32-

22π

3

点评：本题考查球的体积，棱柱的体积，建立良好的空间想象能力是解答本题的关键．