题目内容
2．
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆E交于B、C两点，过B、C两点且分别与直线AB、AC垂直的直线相交于点D．已知椭圆E的离心率为$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，右焦点到右准线的距离为$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；
（3）求△BCD面积的最大值．
分析 （1）利用$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，$\frac{a^2}{c}-c=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，计算即可；
（2）通过设B、C点坐标、写出直线AB、AC、BD、CD的斜率，联立直线BD、CD的方程，计算即可；
（3）通过计算可得点D的纵坐标，进而可得点D到直线BC的距离，利用三角形的面积公式及基本不等式即得结论．
解答 （1）解：由题意得$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，$\frac{a^2}{c}-c=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，
解得$a=3，c=\sqrt{5}$，
∴b2=a2-c2=4，
∴椭圆E的标准方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）证明：设B（x0，y0），C（-x0，y0），显然直线AB，AC，BD，CD的斜率都存在，
设为k1，k2，k3，k4，则${k_1}=\frac{y_0}{{{x_0}+3}}，{k_2}=\frac{y_0}{{-{x_0}+3}}$，${k_3}=-\frac{{{x_0}+3}}{y_0}，{k_4}=\frac{{{x_0}-3}}{y_0}$，
∴直线BD，CD的方程为：$y=-\frac{{{x_0}+3}}{y_0}（x-{x_0}）+{y_0}，y=\frac{{{x_0}-3}}{y_0}（x+{x_0}）+{y_0}$，
消去y得：$-\frac{{{x_0}+3}}{y_0}（x-{x_0}）+{y_0}=\frac{{{x_0}-3}}{y_0}（x+{x_0}）+{y_0}$，
化简得x=3，故点D在定直线x=3上运动．
（3）解：由（2）得点D的纵坐标为${y_D}=\frac{{{x_0}-3}}{y_0}（3+{x_0}）+{y_0}=\frac{x_0^2-9}{y_0}+{y_0}$，
又∵$\frac{x_0^2}{9}+\frac{y_0^2}{4}=1$，∴$x_0^2-9=-\frac{9y_0^2}{4}$，
则${y_D}=\frac{{{x_0}-3}}{y_0}（3+{x_0}）+{y_0}=\frac{{-\frac{9}{4}y_0^2}}{y_0}+{y_0}=-\frac{5}{4}{y_0}$，
∴点D到直线BC的距离h=$|{{y_D}-{y_0}}|=|{-\frac{5}{4}{y_0}-{y_0}}|=\frac{9}{4}|{y_0}|$，
将y=y0代入$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，得$x=±3\sqrt{1-\frac{y_0^2}{4}}$，
∴△BCD面积${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}BC•h=\frac{1}{2}×6\sqrt{1-\frac{y_0^2}{4}}•\frac{9}{4}|{y_0}|$
=$\frac{27}{2}\sqrt{1-\frac{y_0^2}{4}}•\frac{1}{2}|{y_0}|≤\frac{27}{2}•\frac{{1-\frac{y_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{4}}}{2}=\frac{27}{4}$，
当且仅当$1-\frac{y_0^2}{4}=\frac{y_0^2}{4}$，即${y_0}=±\sqrt{2}$时等号成立，
故${y_0}=±\sqrt{2}$时，△BCD面积的最大值为$\frac{27}{4}$．
点评 本题考查椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆的位置关系、三角形的面积计算等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
圆弧）（ ）
B．
D．
在
上是增函数，则满足
的实数
的取值范围是______________．
圆弧）（ ）
B．
D．
（1）存在不少于3项的数列{xn}，使得F（n）=0；
（2）若数列{xn}的通项公式为${x_n}={（{-\frac{1}{2}}）^n}（{n∈{N^*}}）$，则F（2k）＞0对k∈N*恒成立；
（3）若数列{xn}是等差数列，则F（n）≥0对n∈N*恒成立．
其中真命题的序号是（ ）
| A． | （1）（2） | B． | （1）（3） | C． | （2）（3） | D． | （1）（2）（3） |
| A． | x=$\frac{π}{2}$ | B． | x=π | C． | x=$\frac{π}{6}$ | D． | x=$\frac{π}{3}$ |
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，底面A1B1C1D1是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，E为侧棱BB1上的动点（包括端点），则（ ）| A． | 对任意的a，b，存在点E，使得B1D⊥EC1 | |
| B． | 当且仅当a=b时，存在点E，使得B1D⊥EC1 | |
| C． | 当且仅当a≥b时，存在点E，使得B1D⊥EC1 | |
| D． | 当且仅当a≤b时，存在点E，使得B1D⊥EC1 |