Question

已知a∈（

π

2

，π），且sin

a

2

+cos

a

2

=

2 3

3

．
（Ⅰ）求cosa的值；
（Ⅱ）若sin（α+β）=-

3

5

，β∈（0，

π

2

），求sinβ的值．

Answer 1

分析：（1）把已知条件两边平方，移项整理，得到要求的α的正弦值．
（2）角的变换是本题的中心，把β变换为（α+β）-α，应用两角差的正弦公式，在应用公式同时，注意角的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵sin

α

2

+cos

α

2

=

2 3

3

，
∴1+2sin

α

2

cos

α

2

=

4

3

，
∴sinα=

1

3

∵α∈(

π

2

，π)
∴cosα=-

2 2

3

．
（Ⅱ）
∵α∈(

π

2

，π)，β∈(0，

π

2

)，

∴α+β∈(

π

2

，

3π

2

)
∵sin(α+β)=-

3

5，

∴cos(α+β)=-

4

5

∴sinβ=sin[（α+β）-α
=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
=

6 2+ 4

15

点评：角的变换是本题的重点，见到以整体形式出现的角一般整体处理，不会把角展开，几种公式在一个题目中出现，使题目的难度增大，解类似题目时，注意抓住条件和结论的内在联系．