Question

对于x∈[1，3]，不等式mx²-mx-6+m＜0恒成立，则m的取值范围为

m＜

6

7

．

Answer 1

分析：函数在区间上恒成立问题，可转化为函数在给定区间上的最值问题，通过求解函数的最值，列出关于实数m的不等式，达到求解该题的目的．

解答：解：令f（x）=mx²-mx-6+m，
当m=0时，f（x）=-6＜0恒成立，故m=0；
（2）当m≠0时，该函数的对称轴是x=

1

2

，f（x）在x∈[1，3]上是单调函数，
①当m＞0时，由于f（x）在[1，3]上单调递增，要使f（x）＜0在x∈[1，3]上恒成立，只要f（3）＜0即可．
即9m-3m+m-6＜0，解得m＜

6

7

，故0＜m＜

6

7

，
②当m＜0时，由于函数f（x）在[1，3]上是单调递减，要使f（x）＜0在x∈[1，3]上恒成立，只要f（1）＜0即可，
即m-m+m-6＜0，解得m＜6，故m＜0，
综上可知：实数m 的取值范围是：m＜

6

7

．
故答案为：m＜

6

7

．

点评：本题考查函数恒成立问题的解决思路和方法，考查函数与不等式的综合问题，考查学生的转化与化归的思想和方法，考查学生分析问题解决问题的能力．属于中档题．