题目内容

已知f（x）=1+log3x，（1≤x≤9），求函数g（x）=f2（x）+f（x2）的最大值与最小值．
分析：根据对数的运算法则，化简g（x）=f2（x）+f（x2）=（log3x+2）2-2，其中1≤x≤3，看作关于log3x的二次函数，再利用二次函数性质求解．
解答：解：g（x）的定义域由
1≤x≤9
1≤x2≤9
确定，解得：1≤x≤3，g（x）=f2（x）+f（x2）=（1+log3x）2+（1+log3x2）=（log3x+2）2-2，1≤x≤3，
令t=log3x，0≤t≤1，
有：y=g（x）=（t+2）2-2，在[0，1]上为增函数，
∴当t=0即x=1时，g（x）min=2；
当t=1即x=3时，g（x）max=7．
点评：本题考查对数的运算性质、二次函数的性质，换元法．正确的求出g（x）的定义域是关键，也是本题极易出错的地方．
练习册系列答案
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下列说法：
①用“辗转相除法”求得243，135 的最大公约数是9；
②命题p：?x∈R，x2-x+
1
4
＜0，则?p是?x0∈R，x02-x0+
1
4
≥0；
③已知条件p：x＞1，y＞1，条件q：x+y＞2，xy＞1，则条件p是条件q成立的充分不必要条件；
④若
a
=(1，0，1)，
b
=(-1，1，0)，则＜
a
，
b
＞=
π
2
；
⑤已知f(n)=
1
n
+
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
n2
，则f（n）中共有n2-n+1项，当n=2时，f(2)=
1
2
+
1
3
+
1
4
；
⑥直线l：y=kx+1与双曲线C：x2-y2=1的左支有且仅有一个公共点，则k的取值范围是-1＜k＜1或k=
2
．
其中正确的命题的序号为
 
．
已知f（x）=lnx，g（x）=
1
3
x3+
1
2
x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）
（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的值域．
已知f（x）=ex，g（x）=lnx．
（Ⅰ）求证：g（x）＜x＜f（x）；
（Ⅱ）设直线l与f（x）、g（x）均相切，切点分别为（x1，f（x1））、（x2，g（x2）），且x1＞x2＞0，求证：x1＞1．
已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，若存在实数m、n使得h（x）=m•f（x）+n•g（x），则称h（x）为f（x）、g（x）在R上生成的函数．若f（x）=2cos2x-1，g（x）=sinx．
（1）判断函数y=cosx是否为f（x）、g（x）在R上生成的函数，并说明理由；
（2）记l（x）为f（x）、g（x）在R上生成的一个函数，若l(
π6
)=2，且l（x）的最大值为4，求l（x）．
（2012•江门一模）已知f（x）=x2，g（x）=lnx，直线l：y=kx+b（常数k、b∈R）使得函数y=f（x）的图象在直线l的上方，同时函数y=g（x）的图象在直线l的下方，即对定义域内任意x，lnx＜kx+b＜x2恒成立．
试证明：
（1）k＞0，且-lnk-1＜b＜-
k2
4
；
（2）“e-
1
2
＜k＜e”是“lnx＜kx+b＜x2”成立的充分不必要条件．

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