Question

已知抛物线的焦点为，过焦点且不平行于轴的动直线交抛物线于，两点，抛物线在、两点处的切线交于点．

（Ⅰ）求证：，，三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）设直线交该抛物线于，两点，求四边形面积的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）由已知，得，显然直线的斜率存在且不为0，

则可设直线的方程为（），，，

由消去，得，显然.

所以，.  ………………………………………………2分

由，得，所以，

所以，直线的斜率为，

所以，直线的方程为，又，

所以，直线的方程为  ①.………………………………4分

同理，直线的方程为  ②.………………………………5分

②-①并据得点M的横坐标，

即，，三点的横坐标成等差数列.   ……………………7分

（Ⅱ）由①②易得y=-1,所以点M的坐标为（2k,-1）().

所以，

则直线MF的方程为，    …………………………………………8分

设C(x₃,y₃),D(x₄,y₄)

由消去，得，显然，

所以，.     …………………………………………9分

又

.…………10分

.……………12分

因为，所以 ，    

所以，，

当且仅当时，四边形面积的取到最小值.……………………14分

【解析】略