Question

设函数f（x）=|x²-2x|．
（1）在区间[-1，4]上画出函数f（x）的图象；
（2）根据图象写出该函数在[-1，4]上的单调区间；
（3）试讨论方程f（x）=a在区间[-1，4]上实数根的情况，并加以简要说明．

Answer 1

分析：（1）f（x）=|x²-2x|=|（x-1）²-1|，可得在区间[-1，4]上函数f（x）的图象；
（2）根据图象，结合函数单调性的定义，可得函数在[-1，4]上的单调区间；
（3）考查y=f（x）与y=a的交点情况，可得结论．

解答：解：（1）f（x）=|x²-2x|=|（x-1）²-1|，在区间[-1，4]上函数f（x）的图象，如图所示
（2）函数的单调减区间为（-1，0），（1，2），单调增区间为（0，1），（2，4）；
（3）由图象可知，a＜0或a＞8时，方程无实数根；3＜a≤8时，方程有一个实数根；a=0或1＜a≤3时，方程有两个实数根；a=1时，方程有三个实数根；0＜a＜1时，方程有四个实数根．

点评：本题考查函数的图象，考查函数的单调性，考查方程根的讨论，属于中档题．