题目内容
命题p：方程x2+mx+1=0有负实根；命题q：函数f（x）=x-mlnx在区间（0，n）上是减函数；若命题p是命题q的充分非必要条件，求n的取值范围．
分析：由已知中命题p：方程x2+mx+1=0有负实根，命题q：函数f（x）=x-mlnx在区间（0，n）上是减函数．我们可以求出满足条件的元素组成的集合P，Q，由p是q的充分非必要条件，易得P?Q，并由此构造关于n的不等式，解不等式，即可得到满足条件的实数n的取值范围．
解答：解：因为方程x2+mx+1=0有负实根，所以
即m≥2，m的范围是[2，+∞），…（4分）
因为f'（x）=1-
=
，…（6分）
当m≤0时f'（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上单调增，与函数f（x）在区间（0，n）上是减函数矛盾；所以m＞0，…（8分）
f（x）的单调减区间是（0，m），增区间是（m，+∞） …（10分）
而函数f（x）在区间（0，n）上是减函数，所以m的范围是[n，+∞） …（12分）
由于命题p是命题q的充分非必要条件，
所以[2，+∞）?[n，+∞），…（14分）
所以n的取值范围是（0，2）…（16分）
|
因为f'（x）=1-
| m |
| x |
| x-m |
| x |
当m≤0时f'（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上单调增，与函数f（x）在区间（0，n）上是减函数矛盾；所以m＞0，…（8分）
f（x）的单调减区间是（0，m），增区间是（m，+∞） …（10分）
而函数f（x）在区间（0，n）上是减函数，所以m的范围是[n，+∞） …（12分）
由于命题p是命题q的充分非必要条件，
所以[2，+∞）?[n，+∞），…（14分）
所以n的取值范围是（0，2）…（16分）
点评：本题考查的知识点是充要条件的判断，函数的性质等，其中同满足条件的元素组成的集合P，Q，并根据集合法判断充要条件的法则，得到P?Q，进而构造关于n的不等式，是解答本题的关键．
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