Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形．已知AP=PB=AD=2，PD=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积V；
（Ⅲ）设PC与平面ABCD所成角的大小为θ，求tanθ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推导出AD⊥AB，AD⊥PA，由此能证明AD⊥平面PAB，从而得到AD⊥PB．
（Ⅱ）取AB的中点E，连接PE，CE，由已知推导出$PE⊥AB，PE=\sqrt{3}$，PE是四棱锥P-ABCD的高，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．
（Ⅲ）由PE⊥平面ABCD，得∠PCE即为PC与平面ABCD所成的角，由此能求出tanθ的值．

解答 （Ⅰ）证明：∵在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是矩形，
∴AD⊥AB，
∵AD=PA=2，$PD=2\sqrt{2}$，
∴AD⊥PA，…（1分）
又∵AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB…（3分）
∵PB?平面PAB，∴AD⊥PB．…（4分）
（Ⅱ）解：取AB的中点E，连接PE，CE，
∵PA=PB=AB=2，∴$PE⊥AB，PE=\sqrt{3}$，…（6分）
∵AD⊥平面PAB，AD⊆平面ABCD，
∴平面PAB⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，
∴PE是四棱锥P-ABCD的高，…（8分）
∴四棱锥P-ABCD的体积$V=\frac{1}{3}×2×2×\sqrt{3}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．…（9分）
（Ⅲ）解：∵PE⊥平面ABCD，
∴∠PCE即为PC与平面ABCD所成的角，…（10分）
∵$CE=\sqrt{B{C^2}+B{E^2}}=\sqrt{5}$…（11分）
∴$tanθ=\frac{PE}{CE}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．…（13分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．