Question

设y=f(x)是实数函数(即x，f(x)为实数)，且f(x)-2f(

1

x

)=x，求证：|f(x)|≥

2

3

2

．

Answer 1

分析：由f(x)-2f(

1

x

)=x用

1

x

代换x可得，f（

1

x

）-2f（x）=

1

x

，联立可求（x）=-

1

3

(x+

2

x

)，利用基本不等式可证

解答：证明：∵f(x)-2f(

1

x

)=x①
用

1

x

代换x可得，f（

1

x

）-2f（x）=

1

x

②
联立①②消去f（

1

x

）可求得f（x）=-

1

3

(x+

2

x

)
∴|f（x）|=

1

3

|x+

2

x

|=

1

3

(|x|+|

2

x

|)≥

1

3

•2

2

∴|f(x)|≥

2

3

2

．

点评：本题主要考查了利用方程组法求解函数的解析式，及利用基本不等式证明不等式．