题目内容
设y=f(x)是定义在区间（a，b）（b＞a）上的函数，若对
x1、x2∈（a，b），都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|，则称y=f(x)是区间（a，b）上的平缓函数．
（1）试证明对
k∈R，f(x)=x2+kx+1都不是区间（-1，1）上的平缓函数；
（2）若f(x)是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数，试证明对
x1、x2∈R，|f(x1)-f(x2)|≤1．
x1、x2∈（a，b），都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|，则称y=f(x)是区间（a，b）上的平缓函数． （1）试证明对
k∈R，f(x)=x2+kx+1都不是区间（-1，1）上的平缓函数；（2）若f(x)是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数，试证明对
x1、x2∈R，|f(x1)-f(x2)|≤1． 解：（1）
，
，
若k≥0，则当
时，
，
从而
；
若k＜0，则当
时，
，
从而
，
所以对任意常数k，
都不是区间（-1，1）上的平缓函数。
（2）若
，
①当
时，
；
②当
时，不妨设
，根据f(x)的周期性，f(0)=f(2)，
，
，
所以对
，都有
，
对
，根据f(x)的周期性（且T=-2），
存在
，使
、
，
从而，
。
，，若k≥0，则当
时，，从而
；若k＜0，则当
时，，从而
，所以对任意常数k，
都不是区间（-1，1）上的平缓函数。（2）若
，①当
时，；②当
时，不妨设，根据f(x)的周期性，f(0)=f(2)，，，所以对
，都有，对
，根据f(x)的周期性（且T=-2），存在
，使、，从而，
。
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