题目内容
已知数列{an}，{bn}中，对任何正整数n都有：
．
（1）若数列{bn}是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式；
（2）求证：
．
．（1）若数列{bn}是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式；
（2）求证：
．解：（1）依题意，数列{bn}的通项公式为
，由
，
可得
（n≥2），
两式相减可得
，即an=n．
当n=1时，a1=1，从而对一切n∈N*，都有an=n．
所以数列{an}的通项公式是an=n．
（2）证明：由（1）知，anbn=n·2n﹣1，
故
=
+
+
+…+
＜
+
+
+…+
（n≥3）．
∴
＜
+
+
+…+
=1+
=1+
﹣
＜
．
即
成立．
，由，可得
（n≥2），两式相减可得
，即an=n．当n=1时，a1=1，从而对一切n∈N*，都有an=n．
所以数列{an}的通项公式是an=n．
（2）证明：由（1）知，anbn=n·2n﹣1，
故
=+++…+＜+++…+（n≥3）．∴
＜+++…+=1+=1+﹣＜．即
成立．
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