Question

【题目】过点作圆的切线，已知，分别为切点，直线恰好经过椭圆的右焦点和下顶点，则直线方程为___________；椭圆的标准方程是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

①当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，切点的坐标；

②当直线斜率存在时，设方程为，根据圆心到切线的距离等于半径，求出确定直线方程，直线方程与圆方程的联立，进一步求出切点的坐标，再求出方程，则椭圆的右焦点及下顶点可求，其标准方程可求.

解：①当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，切点的坐标；

②当直线斜率存在时，设方程为，即，

根据直线与圆相切，圆心到切线的距离等于半径，得

可以得到切线斜率，即，

直线方程与圆方程的联立

可以得切点的坐标，

根据、两点坐标可以得到直线方程为，（或利用过圆上一点作圆的两条切线，则过两切点的直线方程为）

依题意，与轴的交点即为椭圆右焦点，得，

与轴的交点即为椭圆下顶点坐标，所以，

根据公式得，

因此，椭圆方程为．