Question

【题目】已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，，椭圆的离心率.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）A，B是椭圆C上与点P不重合的任意两点，若的重心是坐标原点O，试证明：的面积为定值，并求出该定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明详见解析，该定值为.

【解析】

（1）根据待定系数法求出椭圆方程；

（2）设直线的方程为，联立方程组求出弦长，求出P到的距离，得出三角形的面积关于m的函数，从而得出面积的最大值.

（1）∵，∴，∴，

∵，∴，

∴，

∴椭圆C的标准方程为：；

（2）最多只有1条边所在直线与x轴垂直，

不妨设所在直线与x轴不垂直，其方程为

（∵的重心是O，∴O不在直线上，）

由得，

设、，则

，

且，，

从而，

设，∵的重心是坐标原点O，

∴，

∴，

，

点在椭圆上，

∴

即，且符合，

点到直线的距离为：

，

的面积，

由即，得

为常数.