Question

如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=BC，D、E分别为BB₁、AC₁的中点.

（1）证明：ED为异面直线BB₁与AC₁的公垂线；

（2）设AA₁=AC=AB，求二面角A₁—AD—C₁的大小.

Answer 1

（1）证明:如图,设O为AC中点,连结EO、BO，则EOC₁C.又C₁CB₁B，∴EODB，EOBD为平行四边形，ED∥OB.

∵AB=BC，∴BO⊥AC.

    又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，BO面ABC，

    故BO⊥平面ACC₁A₁，

∴ED⊥平面ACC₁A₁，ED⊥AC₁，ED⊥CC₁.

∴ED⊥BB₁，ED为异面直线AC₁与BB₁的公垂线.

（2）解：连结A₁E.由AA₁=AC=AB可知，A₁ACC₁为正方形，∴A₁E⊥AC₁.

    又由ED⊥平面A₁ACC₁和ED平面ADC₁知平面ADC₁⊥平面A₁ACC₁，

∴A₁E⊥平面ADC₁.作EF⊥AD，垂足为F，连结A₁F，

    则A₁F⊥AD，∠A₁FE为二面角A₁—AD—C₁的平面角.

    不妨设AA₁=2,

    则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF=，tanA₁FE=，

∴∠A₁FE=60°.

∴二面角A₁—AD—C₁为60°.