Question

在如图的三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AC＝1，PC＝ BC，PB和平面ABC所成的角为．

　　

(Ⅰ)求证：平面PBC⊥平面PAC；

(Ⅱ)比较三个侧面的面积的算术平均数与底面积数值的大小，并说明理由；

(Ⅲ)求AB的中点M到直线PC的距离．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由已知PA⊥平面ABC，PA=AC=1， 　　∴△PAC为等腰直角三角形，且PC=CB=， 　　在Rt△PAB中∠PBA=， 　　∴PB=2， 　　∴△PCB为等腰直角三角形． 　　∵PA⊥平面ABC，PC⊥BC， 　　∴AC⊥BC，又AC∩PC＝C， 　　∴BC⊥平面PAC， 　　∵BC平面PBC， 　　∴平面PBC⊥平面PAC 　　(Ⅱ)三个侧面及底面都是直角三角形，求得侧面PAC面积值为，侧面PAB面积值为，侧面PCB面积值为1，底面积值为． 　　三个侧面面积的算术平均数为 　　 　　∴三个侧面面积的算术平均数大于底面积的数值． 　　(Ⅲ)如图，过M作MD⊥AC，垂足为D 　　∵平面PAC⊥平面ABC且相交于AC， 　　∴MD⊥平面PAC． 　　过D作DE⊥PC，垂足为E，连结ME，则DE是ME在平面PBC上的射影， 　　∵DE⊥PC，∴ME⊥PC，ME的长度即是M到PC的距离． 　　在Rt△ABC中，MD∥BC，MD=BC=，在等腰Rt△PAC中， 　　DE=DCsin 　　∴ME=，即点M到PC的距离为