Question

 如图，圆台上底半径为1，下底半径为4，母线AB=18，从AB中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点。

（1）求绳子的最短长度；

（2）求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离。

 

Answer 1

【答案】

（1）21；（2）

【解析】

试题分析：  （1）要求绳子AM绕圆台一周的最短长度，则可沿AB将圆台的曲面展开，得扇环面（即将曲面问题转化为平面问题），然后求出扇环面上AM’间的距离，AM’=，即绳子的最短长度为21。

（2）要研究此时上底圆周上的点到绳子的最短距离，则需将扇环补充成扇形，这样将BB’上的点到AM’的最短距离问题转化为点S到AM’的最短距离（因为点S到BB’上的点的距离等于半径SB）。故只需求出S到AM’的距离SQ，再减去半径SP即可。即上底圆周上的点到绳子最短距离PQ=SQ－SP=SQ－SB=。

考点：本题主要考查圆台的几何特征及其展开图、距离的计算。

点评：此题用到将圆台“补成”圆锥再展开进行研究，这种割、补、拼凑的思想，是重要的数学思维方法。