题目内容

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（0）=1，b=-a-1，解关于x不等式f（x）＜0；
（2）若f（x）的最小值为0，且a＜b，设 $数学公式$ ，请把 $数学公式$ 表示成关于t的函数g（t），并求g（t）的最小值．

解：（1）由题意可得f（0）=c=1，又b=-a-1，
所以f（x）=ax²+bx+c=ax²-（a+1）x+1=（x-1）（ax-1）．
当a＞1时，不等式的解集为：{x| $\text{[math]}$ }；
当0＜a＜1时，不等式的解集为：{x| $\text{[math]}$ }；
当a＜0时，不等式的解集为：{x| $\text{[math]}$ 或x＞1}；
当a=1时，不等式的解集为空集．
（2）因为f（x）的最小值为0，所即b²=4ac
由因为 $\text{[math]}$ ，故b=at，c= $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，又因为a＜b，所以 $\text{[math]}$ ＞1故g（t）= $\text{[math]}$ （t＞1）
所以g（t）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ =3，当且仅当 $\text{[math]}$ ，即t=4时取等号
故g（t）的最小值为3
分析：（1）由题意可得f（0）=c=1，又b=-a-1，可得f（x）=（x-1）（ax-1）下面由分类讨论可得；
（2）由题意可的a＞0且 $\text{[math]}$ =0，易得g（t）= $\text{[math]}$ （t＞1），然后变形为 $\text{[math]}$ ，由基本不等式可得答案．
点评：本题为二次函数，二次不等式，基本不等式的综合应用，涉及分类讨论的思想，属基础题．

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