Question

已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，在椭圆上满足

MF1

•

MF2

=0的M点有四个，则椭圆离心率的取值范围是

（

2

2

，1）

．

Answer 1

分析：由F₁，F₂是椭圆的两个焦点，在椭圆上满足

MF1

•

MF2

=0，知，S△F1MF2=b²，设M点纵坐标为h，则h=

b2

c

，由椭圆上满足

MF1

•

MF2

=0的M点有四个，得

b2

a

＜

b2

c

＜b，由此能求出椭圆离心率的取值范围．

解答：解：∵F₁，F₂是椭圆的两个焦点，在椭圆上满足

MF1

•

MF2

=0，
∴

MF1

⊥

MF2

，
∴∠F₁MF₂=90°，
∴S△F1MF2=b²，
设M点纵坐标为h，则

1

2

×2c×h=b2，
∴h=

b2

c

，
∵椭圆上满足

MF1

•

MF2

=0的M点有四个，
∴M点与椭圆短轴上的端点不重合，
∴

b2

c

＜b=

bc

c

，
∴b＜c，b²+c²＜2c²，
∵a²=b²+c²，
∴a²＜2c²，∴a＜

2

c，
∵0＜e＜1，
∴

2

2

＜e＜1．
故答案为：（

2

2

，1）．

点评：本题考果椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量知识的合理运用．