Question

已知函数f（x）=x³-3ax²+2ax+1（a∈R）．
（I）当a=-

3

8

时，求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ） 当a＞0时，设函数g（x）=f（x）+3-2ax，若x∈[1，2]时，g（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）当a=-

3

8

时，求出导函数f'（x），然后令f'（x）＜0，解得x的取值范围即为该函数的单调减区间；
（Ⅱ） 先整理g（x），然后求出导函数g′（x），令g′（x）=0，解得x=0或x=2a，然后讨论2a与区间[1，2]的位置关系，根据函数的单调性得到函数的最小值，使最小值大于0即可．

解答：解：（I）当a=-

3

8

时，函数为f(x)=x3+

9

8

x2-

3

4

x+1，
则f/(x)=3x2+

9

4

x-

3

4

＜0，解得当-1＜x＜

1

4

时，
所以函数f（x）的单调递减区间为(-1，

1

4

)．  （3分）
（Ⅱ） g（x）=x³-3ax²+4，则g′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），
令g′（x）=0，解得x=0或x=2a
（1）若0＜a≤

1

2

，在区间x∈[1，2]上时，g′（x）＞0，即g（x）在区间[1，2]上单调递增
所以有g（1）＞0，解得a＜

5

3

，故0＜a≤

1

2

（2）若

1

2

＜a＜1，当x∈[1，2a]时，函数g（x）单调递减，
当x∈[2a，2]时，函数g（x）单调递增，所以有g（2a）＞0，解得a＜1，故

1

2

＜a＜1（7分）
（3）若a≥1，当x∈[1，2]时，g′（x）＜0，即g（x）在区间[1，2]上单调递减，
所以有g（2）＞0，解得a＜1，舍去
综上所述，当0＜a＜1时，x∈[1，2]，g（x）＞0恒成立．                （10分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值和恒成立问题，同时考查了分类讨论的 数学思想，属于中档题．