Question

已知椭圆C的离心率为，一条准线方程为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设动点P满足：，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，求A，B的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出椭圆的标准方程，利用椭圆C的离心率为，一条准线方程为，建立方程组，求得几何量，即可求椭圆C的标准方程；
（2）利用，直线OM与ON的斜率之积为，确定P的轨迹方程，即可求得结论．
解答：解：（1）设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）
∵椭圆C的离心率为，一条准线方程为
∴，∴a=，c=，∴b=1
∴椭圆C的标准方程为；                …．（4分）
（2）设P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则由得x=x₁+x₂，y=y₁+y₂…（6分）
因为点M，N在椭圆上，即x²+3y²=3，所以，…（8分）
故==6+2（x₁x₂+3y₁y₂）…（10分）
设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知，因此x₁x₂+3y₁y₂=0…（12分）
所以x²+3y²=6，即…．（14分）
所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为A，B，则由椭圆的定义|PA|+|PB|为定值，又因，因此两焦点的坐标为A（-2，0），B（2，0）．                                    …（16分）
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查标准方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定椭圆的标准方程是关键．