Question

ABCD—EFGH表示以AB=4 cm，BC=3 cm的长方形ABCD为底面的长方体被平面斜着截断的几何体，EFGH是它的截面，当AE=5 cm,BF=8 cm,CG=12 cm时，试回答下列问题：

(1)求DH的长；

(2)求这个几何体的体积；

(3)截面四边形EFGH是什么图形？并证明你的结论.

Answer 1

解析：(1)过E作EB₁⊥BF，由BB₁=AE=5，所以B₁F=8-5=3.

∵平面ABEF∥平面DCGH，EF和HG是它们分别与截面的交线，

∴EF∥HG.

过H作HC₁⊥CG,垂足为C₁，则

GC₁=FB₁=3 cm,

DH=12-3=9 cm.

(2)用一个与该几何体完全相同的几何体，倒置其上，使它们拼接组合成一个以ABCD为底，高为17 cm的长方体，设原几何体的体积为V，则

2V=3×4×17=204 cm³，即V=102 cm³.

(3)已知EF∥HG，同理EH∥FG，于是EFGH是平行四边形.

∵，过E作ED₁⊥DH，

则DD₁=AE=5，ED₁=AD=3，HD₁=9-5=4，

∴.

∴EF=EH，故EFGH是菱形.