Question

四棱锥S—ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC=45°,AB=2,BC=,SA=SB=.

(1)证明SA⊥BC;

(2)求直线SD与平面SAB所成角的大小.

Answer 1

答案：解法一:(1)作SO⊥BC,垂足为O,连结AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥底面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO.又∠ABC=45°,故△AOB为等腰直角三角形,AO⊥BO.由三垂线定理,得SA⊥BC.

(2)由(1)知SA⊥BC,依题设AD∥BC,

故SA⊥AD.由AD=BC=,SA=3,AO=,得SO=1,SD=.

所以△SAB的面积S₁=AB·=.

连结DB,得△DAB的面积S₂=AB·ADsin135°=2.设D到平面SAB的距离为h,由V_D—SAB=V_S—ABD,得h·S₁=SO·S₂,解得h=.设SD与平面SAB所成角为α,则sinα=.所以直线SD与平面SAB所成的角为arcsin.

解法二:(1)作SO⊥BC,垂足为O,连结AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥平面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO.又∠ABC=45°,△AOB为等腰直角三角形,AO⊥OB.

如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O—xyz,

A(,0,0),B(0,,0),C(0,-,0),S(0,0,1),

=(,0,-1),=(0,2,0),=0,所以SA⊥BC.

(2)取AB中点E,E(,,0).连结SE,取SE中点G,连结OG,

G(,,),=(,,),=(,,-1),=(,0).

=0,=0,OG与平面SAB内两条相交直线SE、AB垂直,所以OG⊥平面SAB.与的夹角记为α,SD与平面SAB所成的角记为β,则α与β互余.

D(,0),DS=(,1),cosα=,sinβ=,

所以直线SD与平面SAB所成的角为arcsin.