Question

已知函数f（x）=a+

1

2x-1

，
（1）求f（x）的定义域，
（2）是否存在实数a，使f（x）是奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，令g（x）=x³•f（x），求证：g（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）由分式的分母不等于0直接求解函数的定义域；
（2）函数的定义域关于原点对称，假设存在实数a使f（x）是奇函数，由奇函数的定义，对于定义域内的任意实数x
f（-x）=-f（x）恒成立，代入函数解析式后整理可求得实数a的值；
（3）把a=

1

2

代入函数f（x）的解析式，把g（x）=x³•f（x）整理后可证明函数函数g（x）为偶函数，再证明当x＞0时g（x）＞0，根据函数是偶函数可得x＜0时g（x）＞0，则问题得证．

解答：（1）解：由2^x-1≠0得：x≠0
∴f（x）的定义域为{x|x≠0}；
（2）解：由于f（x）的定义域关于原点对称，要使f（x）是奇函数，
则对于定义域{x|x≠0}内任意一个x，都有f（-x）=-f（x）即：a+

1

2-x-1

=-(a+

1

2x-1

)，
整理得：

(2a-1)(2x-1)

2x-1

=0，∴2a-1=0，解得：a=

1

2

，
∴存在实数a=

1

2

，使f（x）是奇函数；
（3）证明：在（2）的条件下，即a=

1

2

，
则g(x)=x3•f(x)=(

1

2

+

1

2x-1

)x3，
g（x）的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，且g（-x）=（-x）³f（-x）=x³f（x）=g（x）
则g（x）为偶函数，其图象关于y轴对称．
当x＞0时，2^x＞1，即2^x-1＞0，又2^x+1＞0，x³＞0．
∴g(x)=(

1

2

+

1

2x-1

)x3=

2x+1

2(2x-1)

•x3＞0．
当x＜0时，由对称性得：g（x）＞0．
综上：g（x）＞0成立．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了函数奇偶性的判断，判断一个函数是否具有奇偶性，首先判断定义域是否是关于原点对称，若定义域关于原点对称，然后用定义判断，否则，函数为非奇非偶函数，此题是中档题．